Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma recta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à recta r :
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.
Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
· bases: as regiões poligonais R e S
· altura: a distância h entre os planos
· arestas das bases: os lados ( dos polígonos)
· arestas laterais: os segmentos
· faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
· recto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
· oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
prisma recto
prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo prisma recto cujas bases são polígonos regulares:
prisma regular triangular
prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são rectângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo recto
Se o paralelepípedo recto tem bases rectangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-rectângulo, ortoedro ou paralelepípedo rectângulo.
Paralelepípedo rectângulo
Seja o paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo rectângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo rectângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:
Cubo
Um paralelepípedo rectângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL=4a2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
AT=6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo rectângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
