GEOMETRIA ESPACIAL
Podemos utilizar um teorema da Geometria Espacial para determinar o número de arestas . O Teorema de Euler relaciona o número V de vértices, o número A de arestas e o número F de faces de um poliedro convexo qualquer através da fórmula
.
Esta fórmula na verdade nos dá uma informação sobre a estrutura topológica da superfície, sendo que o número 2 que aí aparece é a característica de Euler do poliedro.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Podemos utilizar um teorema da Geometria Espacial para determinar o número de arestas . O Teorema de Euler relaciona o número V de vértices, o número A de arestas e o número F de faces de um poliedro convexo qualquer através da fórmula
.
Esta fórmula na verdade nos dá uma informação sobre a estrutura topológica da superfície, sendo que o número 2 que aí aparece é a característica de Euler do poliedro.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
· tetraedro: quatro faces
· pentaedro: cinco faces
· hexaedro: seis faces
· heptaedro: sete faces
· octaedro: oito faces
· icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
· tetraedro: quatro faces
· pentaedro: cinco faces
· hexaedro: seis faces
· heptaedro: sete faces
· octaedro: oito faces
· icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro
Planificação
Elementos
Tetraedro
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
Hexaedro
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
Octaedro
8 faces triangulares
6 vértices
12 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares
12 vértices
30 arestas
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
